Ein Gebietszerlegungsverfahren für parabolische Probleme im Zusammenhang mit Finite-Volumen-Diskretisierung

Abstract

Gegenstand des ersten Teils der vorliegenden Arbeit ist ein Finite-Volumen-Verfahren für instationäre Konvektions-Diffusions-Reaktions-Gleichungen. Aufgrund der genutzten Kontrollvolumina, die dual zu einer üblichen Finite-Element-Triangulierung definiert werden, läßt sich unsere Diskretisierung als ein (konformer) verallgemeinerter Galerkin-Ansatz formulieren. Wir erweitern bekannte Konvergenzresultate auf zeitabhängige Fälle, wobei konvektionsdominanten Fällen durch eine Upwind-Modifikation Rechnung getragen wird. Im zweiten Teil dieser Arbeit entwickeln wir ein neues Gebietszerlegungsverfahren für die im ersten Teil bereits betrachteten parabolischen Probleme. Dabei handelt es sich um eine Teilgebiets-Iterationstechnik vom Dirichlet-Robin-Typ mit nichtüberlappenden Teilgebieten. Da das Gebietszerlegungsverfahren auf die direkte Anwendung auf parabolischen Probleme ohne vorhergehende Zeitdiskretisierung abzielt, müssen wir spezielle Steklov-Poincaré-Operatoren konstruieren und gelangen zu einem Verfahren vom Waveform-Relaxation-Typ. Es wird die lineare Konvergenz des Verfahrens gezeigt sowohl auf stetigem Level als auch im semidiskreten Fall, bei dem die zuvor untersuchte Finite-Volumen-Diskretisierung zum Einsatz kommt. Wir geben eine Optimierungsstrategie für die Austauschrandbedingungen an, die zu einer deutliche Effizienzsteigerung führt. Abschließend illustrieren wir unsere theoretischen Aussagen durch numerische Ergebnisse.