Numerische Verzweigungsanalyse mit Anwendungen auf Rad-Schiene-Systeme

Kurzfassung

Die Verzweigungsanalyse als rechnergestütztes Verfahren der nichtlinearen Systemdynamik hat zum Ziel, das dynamische Verhalten eines nichtlinearen Systems im eingeschwungenen Zustand in Abhängigkeit von einem oder mehreren Systemparametern zu beschreiben. Als Ergebnis wird in einem Verzweigungsdiagramm das Systemverhalten als stabil oder instabil sowie als stationär, periodisch, quasi-periodisch oder chaotisch charakterisiert. Von besonderem Interesse sind dabei so genannte Verzweigungspunkte - definierte Parameterwerte, an denen sich das dynamische Verhalten schlagartig und radikal verändert. Eine Verzweigungsanalyse baut entweder auf einer Parametervariation über numerische Zeitintegration auf oder aber auf der direkten Methode der Pfadverfolgung, implementiert in entsprechenden Softwarewerkzeugen. Zur rechnergestützten Dynamiksimulation kompletter Schienenfahrzeuge im industriellen Entwurfsprozess werden kommerziell verfügbare Softwaresysteme eingesetzt, die auf der Methode der Mehrkörpersysteme aufbauen. diese müssen allerdings über zusätzliche, spezifische Funktionalitäten verfügen: Beispielsweise muss sich die komplexe, hochgradig nichtlineare Kontaktgeometrie - und -mechanik zwischen Rad und Schiene effizient modellieren und berechnen lassen. Einen wichtigen Aspekt bei der Auslegung von Schienenfahrzeugen stellt die kritische Geschwindigkeit (Grenzgeschwindigkeit) dar. Bei einer Fahrt im ideal geraden Gleis trennt diese Grenze den Betriebsbereich eines Fahrzeuges mit gesichertem Abklingen einer (Anfangs)störung von dem zu vermeidenden Bereich des Aufklingens zu einer periodischen Bewegung im Gleis - einem so genannten Grenzzyklus. Mit den Methoden der linearen Systemanalyse kann zwar eine solche Grenzgeschwindigkeit bestimmt werden, allerdings erweist sich diese im Vergleich zu Messfahrten in den allermeisten Fällen als deutlich zu hoch. Die Verzweigungsanalyse ermöglicht hingegen eine exaktere Bestimmung dieser wichtigen Kenngröße. Ziel der Arbeit ist eine Softwareumgebung, die eine weitgehend automatisierte, ingenieurmäßige Verzweigungsanalyse der Bewegungsgleichungen beliebiger Schienenfahrzeuge als Beispiel eines komplexen dynamischen Systems auf der Basis der Pfadverfolgung erlaubt. Dabei sind sämtliche Entwicklungen und Untersuchungen auf den technisch-industriell relevanten Bereich des stationären un ddes periodischen Bewegungsverhaltens beschränkt. Das genannte Ziel wird in drei wesentlichen Entwicklungsschritten erreicht: Grundlage ist die Kopplung eines Softwaresystems zur Verzweigungsanalyse allgemeiner dynamischer Systeme mit einem Softwaresystem zur rechnergestützten Generierung und Analyse der Bewegungsgleichungen technisch-mechanischer Systeme. Ersteres baut auf dem Prinzip der Pfadverfolgung für Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen auf, letzteres auf der Methode der Mehrkörpersysteme. Sowohl unter theoretischen als auch unter algorithmischen Gesichtspunkten erwesit sich die direkte Bestimmung periodischer Lösungen als die bei weiterm schwierigste und aufwändigste Teilaufgabe einer Verzweigungsanalyse. Erst die Erweiterung des bestehenden Algorithmus um die integrierte und synchrone Auswertung der Variationsdifferential- bzw. Sensitivitätsgleichungen zur direkten Bestimmung des Gradienten der Lösungstrajektorie bezüglich der Anfangsbedingungen und bezüglich des variierten Systemparameters ermöglicht die zuverlässige und effiziente Erfüllung dieses Teilaspektes auch für große, komplexe Systeme. Im dritten und letzten Schritt erlaubt dann der Übergang auf eine differentiell-algebraische Formulierung der Bewegungsgleichungen die Anwendung auf Simulationsmodelle von Schienenfahrzeugen, die dem Stand der Technik entsprechen. Auf Modelle also, die auch im industriellen Rahmen häufig zur Auslegung der Fahrdynamik Verwendung finden. Die Grundidee besteht dabei in einer lokalen Parametrisierung der durch die algebraischen Gleichungen definierten Zwangsmannigfaltigkeit. Diese führt auf eine lokale Zustandsform der Bewegungsgleichungen, d.h. auf ein äquivalentes und minimales System gewöhnlicher Differentialgleichungen. die Verzweigungsanalyse des detaillierten Simulationsmodells eines Reisezugwagens beweist die Anwendbarkeit der im Rahmen der Arbeit entstandenen Softwareumgebung auf komplexe, realistische und damit industriell relevante Modellierungen beliebiger Rad-Schiene-Systeme. Obgleich die gesamte Abhandlung sich stark auf die Untersuchung von Schienenfahrzeugen konzentriert, können die Algorithmen auch zur Verzweigungsanalyse anderer technisch-mechanischer Systeme eingesetzt werden; losgelöst von der Mehrkörpersystem-Software ist die Anwendung auf beliebige dynamische Systeme möglich. Dabei bewirkt gerade die Berücksichtigung der Variationsdifferentialgleichungen im Zusammenhang mit dem Übergang auf eine differentiell-algebraische Formulierung der Bewegungsgleichungen auch ganz allgemein eine erhebliche Ausweitung des Anwendungsspektrums der Software zur Verweigungsanalyse.