Stochastische Gradientenverfahren zur Optimerung unter Echtzeitbedingungen in der adaptiven Optik

Abstract

Diese Diplomarbeit befasst sich mit stochastischen Gradientenverfahren als Methoden der numerischen Optimierung für die Anwendung in der adaptiven Optik. Die adaptive Optik wird insbesondere im Fall der Propagation von Licht durch die Atmosphäre zur Verbesserung der Abbildungseigenschaften eines optischen Systems verwendet. Als Verfahren der Wahl wird das Simultaneous Perturbation Stochastic Approximation Verfahren (SPSA-Verfahren) betrachtet, das aufgrund seiner geringen Anzahl von benötigten Zielfunktionsauswertungen pro Iteration sehr gut zu den Echtzeit-Anforderungen der Anwendung passt. Neben der Darstellung des physikalischen Hintergrunds wird Wert auf eine fundierte Verankerung der Analyse der Verfahren in der Wahrscheinlichkeitstheorie gelegt. Die verwendeten Resultate u.a. der Martingaltheorie werden im Rahmen der Arbeit in die benötigte Form gebracht. Als Hintergrund wird ein Einblick in die Theorie der deterministischen, ableitungsfreien Gradientenverfahren gegeben. Die Konvergenz des SPSA-Verfahrens wird auf ein Konvergenztheorem für Stochastic-Approximation-Verfahren von Kushner und Clark zurückgeführt. Dabei wurde in der Konvergenztheorie zunächst Spall gefolgt, aufgrund von wahrscheinlichkeitstheoretischen Überlegungen werden dann aber teilweise geänderte Voraussetzungen verwendet. Der praktische Teil der Arbeit beschäftigt sich mit der Anwendung des Verfahrens in der adaptiven Optik am Beispiel eines Labor-Testsystems. Die Voraussetzungen der Theorie werden für die Anwendung gewürdigt. Zur Umsetzung des Verfahrens in einen konkreten Algorithmus wird auf die Parameterwahl und mögliche Erweiterungen eingegangen. Die Wahl der Parameter nach Spall wird um eine Überlegung aus der Theorie der numerischen Differentiation erweitert, so dass sich eine andere Empfehlung hinsichtlich der Wahl der Schrittweite für die Gradientenschätzung ergibt. Ein Optimierungsdurchgang wird dargestellt und bewertet und anschließend ein Ausblick für die mögliche Verwendung des Verfahrens in einem adaptiv-optischen System gegeben.