Die Verwendung von Hansen-Systemen in Himmelsmechanik und Astrodynamik

Kurzfassung

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit drei geradlinigen Koordinatensystemen, in denen die astrodynamischen Bewegungsgleichungen bearbeitet werden können. Diese Systeme können mit den Namen I. Newton, G. W. Leibniz und P. A. Hansen verknüpft werden. Dem Namen Newtons wird das inertiale Basissystem zugeordnet, in dem die sogenannten Newton-Eulerschen Bewegungsgleichungen integriert werden. Alle Beobachtungen mit vorausberechneten bzw. gemessenen Örtern von Erdsatelliten, natürlichen und künstlichen Körpern im Sonnensystem und interstellare Objekte werden in einem solchen System (das etwa auf den Erdäquator oder die Ekliptik bezogen sein kann) berechnet. Da kein bekanntes Koordinatensystem raum- und zeitfest ist, da Bewegungen und Örter nur relativ festgestellt werden können, muss per definitionem ein solches System, dessen inertiale Orientierung auf intergalaktische Objekte bezogen ist, für einen Zeitpunkt (zur Zeit die Fundamentalepoche J2000.0) eingefroren werden. Alle Beobachtungen werden auf dieses System reduziert, bzw. aus diesem System auf einen aktuellen Beobachtungszeitpunkt umgerechnet. Der Ursprung dieses Systems (zum Beispiel ein Baryzentrum) hat mit der Bewegung eines zu untersuchenden Objektes nichts zu tun. Das von G. W. Leibniz eingeführte System ist ein mit dem betrachteten Objekt mitbewegtes System, dessen Ursprung daher in diesem Objekt liegt. Zwei Achsen liegen in der Bahnebene, die dritte normal zur Bahnebene. Dieses System gestattet die Zerlegung von Bewegungseinflüssen in einen radialen, transversalen und normalen Anteil, was von C. F. Gauß in seinen Planetengleichungen genutzt worden ist. P. A. Hansen entdeckte ein System, das er als „ideales System“ bezeichnete, weil in ihm die ersten Ableitungen von Bewegungsparametern im gestörten wie ungestörten Fall dieselbe Darstellung haben. Der zu diesem System relative Geschwindigkeitsvektor ist zum Beispiel identisch dem absoluten Geschwindigkeitsvektor eines Bewegungsvorganges. Die Basisebene dieses Systems liegt wie die des Leibniz-Systems in der momentanen Bahnebene, ist jedoch fest in der Bahnebene verankert. Sein Ursprung hat wie bei einem Newton – System nichts mit der Bahn zu tun, kann etwa in einem Baryzentrum liegen oder aber im Hinblick auf beliebige Bewegungen in einem beliebigen Ort außerhalb der Bahnkurve. Dadurch können Singularitäten vermieden werden, die bei einem Durchgang des bewegten Objektes durch den Ursprung auftreten könnten. Hansen wählte dieses System im Rahmen seiner Untersuchungen der Bewegung der Kleinen Planeten und des Mondes, weil die Störeinflüsse in der Bahnebene und senkrecht dazu in diesem System nahezu vollständig entkoppelt werden können. Es wird in dieser Arbeit als eine Kernaussage gezeigt, dass ein solches Koordinatensystem nicht willkürlich gewählt werden kann, sondern einer jeden Bahnbewegung originär zugeordnet ist (Die Bewegungen eines Raumflugkörpers, um seine Lage zu ändern, werden in dieser Arbeit nicht untersucht). Eine Anfangsrichtung dieses Systems in der Bahnebene kann willkürlich festgelegt werden. Ist dies erfolgt, muss sie zur Untersuchung eines Bewegungsvorganges für den gesamten Rechenprozess festgehalten werden. Eine weitere zentrale Aussage ist, dass ein solches als Hansen – System bezeichnetes System das einzige Koordinatensystem ist, das fest an eine Bahnebene gekettet ist und auch nicht in der Bahnebene variieren kann. Damit ist ein auf dieses System bezogener Bahnwinkel die einzige wirklich unabhängige Variable, die eine Bahnbewegung beschreiben kann. Alle anderen Bahnparameter, auch die Zeit, müssen auf diesen Bahnwinkel bezogen werden. Dieses System ist das einzige System, in dem wie bei einem inertialen System der absolute Geschwindigkeitsvektor dem auf dieses System bezogenen relativen Geschwindigkeitsvektor identisch gleich ist. Eine räumliche Eigenbewegung dieses Systems ist ausschließlich durch eine normale Beschleunigungskomponente auf den relevanten Bewegungsvorgang bestimmt. Die Verwendung eines solchen Systems erlaubt eine vollständige Verallgemeinerung der Rechnungen in der Astrodynamik und darüber hinaus bei Untersuchungen eines jeden Bahnbewegungsvorganges. Deshalb ist es in Bezug auf dieses System möglich, eine beliebige Kurve (mit Ausnahme eines Kreises) als Anpassungskurve für eine beliebige Bahnbewegung zu wählen, etwa eine gleichförmige geradlinige Bewegung, wie sie einer inertialen Bewegung zugeordnet ist. Durch Variation der Parameter einer solchen Kurve wird der Anpassungsprozess durchgeführt. Deshalb ist es auch nicht verwunderlich, dass gezeigt werden kann, dass die Eulersche Methode der Variation der Parameter im Prinzip auf Hansen-Systeme zurückzuführen ist. Eine geradlinige Bewegung, die keinen äußeren Bewegungseinflüssen unterliegt, wird notwendigerweise auf ein Hansen–System bezogen, da dieses System als fester Bezug der Bewegung gewählt werden muss. Wird eine beliebige Bewegung beobachtet und auf die Darstellung einer geradlinigen Bewegung bezogen, können in elementarer Weise die Beschleunigungen herauskristallisiert werden, die diese Bewegung verursachen. Basierend auf diesen Überlegungen wird in der vorliegenden Arbeit ein Integrationsverfahren herausgearbeitet, das in relativ willkürlicher Weise ein beliebig kompliziertes Bewegungsproblem zu bearbeiten gestattet. Dazu wird eine Ausgangskurve zugrunde gelegt, deren Parameter nach der Methode der Variation der Parameter einem bestimmten System von Variationsgleichungen genügen. Aus der Gesamtheit der bekannten Beschleunigungen, die einen Bewegungsvorgang prägen, wird diejenige ausgewählt, die eine relativ einfache Integration (möglichst mit einem algebraischen Formelmanipulator) erlaubt. Als Ergebnis wird eine neue Kurve erhalten, deren neue Parameter ein neues System von Variationsgleichungen konstruieren lassen, das anschließend mit einer weiteren der einwirkenden Beschleunigungen bearbeitet wird. Auf diese iterative Weise (Kurve, vollständiger Satz neuer Variationsgleichungen, neue Kurve, usw.) wird das gesamte Bewegungsproblem nach und nach bearbeitet, bis alle bekannten Bewegungseinflüsse mit einer vorgegebenen Genauigkeitsgrenze berücksichtigt sind. Dieser Prozess, der durch die Verwendung von Hansen-Systemen ermöglicht wird, steht im Gegensatz zur klassischen Methode der Himmelsmechanik, in der ein und dasselbe System von sechs Planetengleichungen, die eventuell zuvor durch kanonische Transformationen bearbeitet wurden, approximativ gelöst wird, wobei die Zeit explizit oder implizit als unabhängige Variable dient. In der in dieser Arbeit vorgeschlagenen Methode müssen minimal zwei maximal vier Differentialgleichungen als ein System in einem Arbeitsschritt gelöst werden. Die räumliche Orientierung und der Bezug zur Zeit werden nach Lösung des Bewegungsproblems separat berechnet. Beispiele aus der Astrodynamik erläutern das hier vorgeschlagene Verfahren (Geradlinige Bewegung, Keplerbewegung, Spiralbewegung, Bahnen mit kleinem Schub, Sonnensegelbahnen im interplanetaren Raum). Das hier entwickelte Integrationsverfahren kann auf beliebige Bahnbewegungen angewendet werden.