Efficient Time Integration Methods for Linear Parabolic Partial Differential Equations with Applications

Kurzfassung

In dieser Arbeit untersuchen wir effiziente Zeitintegrationsmethoden für lineare parabolische PDEs, um praktische Probleme zu lösen, die in einer Vielzahl von realen Anwendungen auftreten. Die klassische Konstruktion von numerischen Methoden zur Lösung von PDEs basiert auf der Linienmethode, die zu einem großen, dünnbesetzten und halbdiskretisierten System ODEs führt, auf das anschließend jede numerische Methode für die Lösung eines Anfangswertproblems angewendet werden kann. Bei parabolischen Problemen ist bekannt, dass die zugrunde liegenden ODE-Systeme steif sind. Daher wird im Zusammenhang mit linearen Modellproblemen die Verwendung impliziter Methoden in der Praxis normalerweise als die beste Wahl angesehen. Diese Aussage ist jedoch für einige relevante Anwendungen nicht richtig. Insbesondere können implizite Methoden hohe Rechenkosten verursachen, die mit bestimmten Modellbeschränkungen verbunden sind. Die hier betrachteten Modellprobleme sind mit verschiedenen Einstellungen verbunden, die von vielen unterschiedlichen Anfangsbedingungen über die Langzeitsimulation mit relativ häufigen Modellupdates bis hin zur Behandlung sehr großer Probleme reichen, bei denen die Matrixgröße mehrere Millionen überschreiten kann. Deswegen sind wir an ausgefeilten und rechnerisch effizienten numerischen Methoden interessiert, die die Aspekte der Approximationsgenauigkeit sowie der Rechen- und Speicherkomplexität in Einklang bringen. Es ist auch heute noch eine herausfordernde Aufgabe, eine numerische Methode zu konzipieren, die hohe Genauigkeit, Robustheit und Recheneffizienz kombiniert. Das Hauptziel besteht darin, ein simples und effizientes ODE-Integrationsschema für jedes Modellproblem zu finden. Zunächst geben wir eine umfassende Einführung in die modernsten Methoden, die oft für praktische Zwecke eingesetzt werden. In diesem Rahmen werden wir die theoretischen und numerischen Grundlagen zweier populärer Techniken sehr detailliert untersuchen, nämlich die schnellen expliziten Methoden und die Modellordnungsreduktionstechniken. Das ist wichtig, um die Verfahren vollständig zu verstehen und die beste numerische Methode zu finden, die speziell für den beabsichtigten Zweck geeignet ist. Das zweite Ziel ist dann, die praktischen Probleme im Zusammenhang mit Formkorrespondenz, geothermischer Energiespeicherung und osmosebasierte Bildverarbeitung effizient zu lösen. Für jede Anwendung geben wir einen vollständigen Aufbau an. Um eine effiziente genaue numerische Approximation bereitzustellen, werden die numerischen Löser zusammen mit vielen technischen Details und eigenen Anpassungen ausführlich erläutert. Wir validieren unsere numerischen Resultate durch Experimente mittels synthetischer und realer Daten. Außerdem bietet die Arbeit eine vollständige und detaillierte Beschreibung der leistungsstarken Methoden, die sehr nützlich sein können, um ähnliche Probleme anzugehen, die in vielen Anwendungen von Interesse sind.