Turbulente Transportvorgänge in idealisierten Czochralski-Kristallzüchtungsanordnungen

Kurzfassung

Bis heute wurden nur wenige numerische Arbeiten bekannt, die sich mit der detaillierten Simulation der turbulenten Strömung von Fluiden niedriger Prandtl-Zahl befassen. Ein Grund hierfür ist möglicherweise die hohe Leitfähigkeit dieser Fluide, die in einem expliziten Zeitintegrationsverfahren zu extrem kleinen numerisch stabilen Zeitschritten und damit immensen Rechenzeiten führt. Um diese Problematik zu umgehen, wurde in der vorliegenden Arbeit ein semi-implizites Zeitintegrationsverfahren verwendet, welches unter anderem die diffusiven Terme der Wärmetransportgleichung durch Verwendung eines impliziten Crank-Nicholson-Zeitschritts integriert. Zur Lösung der hieraus und aus einem Projektionsschritt für die Impulsgleichungen resultierenden 3D Poisson-Probleme wurde ein direkter Poisson Löser entwickelt, der auf versetzten Maschennetzen sowohl für Neumann- als auch für Dirichlet-Randbedingungen angewendet werden kann. Mit dem Ziel, ein besseres Verständnis der physikalischen Strömungsvorgänge in der Silizium-Schmelze einer Czochralski-Kristallzüchtungs-Konfiguration zu erlangen, wurden zunächst 4 direkte numerische Simulation der turbulenten Strömung bei ruhendem Kristall und Tiegel durchgeführt. Ausgehend von der reinen Auftriebskonvektion bei adiabater freier Oberfläche und adiabatem Tiegelboden für eine Grashof-Zahl von Gr = 10^8, einem Höhen-Seitenverhältnis von H/R_c = 1.0 und einem Verhältnis zwischen Tiegel- und Kristalldurchmesser von R_s/R_c = 0.5 wurden hierfür in den drei weiteren DNS nacheinander Oberflächenspannungseffekte, Wärmestrahlungseffekte an der freien Oberfläche und ein Wärmestrom über den Tiegelboden in das numerische Modell integriert. Reine Auftriebskonvektion führt im statistischen Mittel zu einer Rezirkulationsbewegung, in der Fluid an der beheizten Tiegelwand aufsteigt, unterhalb des Meniskus umgelenkt wird, um parallel zur flachen freien Oberfläche in Richtung Kristall zu konvektieren. Ein axialer Wärmestrom unterhalb des Kristalls führt zur Abkühlung der Schmelze, die von dort zum Tiegelboden absinkt. Ein durch vergleichsweise 'kalte' Schmelze gekennzeichneter Bereich erstreckt sich daher fast bis zum Tiegelboden. Infolge eines hohen Wärmeflusses in radialer Richtung nahe des Kristallrandes werden starke Temperaturfluktuationen produziert, die konvektiv, der Rezirkulationsbewegung entsprechend, unter den Kristall transportiert werden und dort zu maximalen rms-Temperaturfluktuationen führen. Kapillareffekte, die bei adiabater, flacher freier Oberfläche vor allem nahe des Kristallrandes auftreten, bewirken eine Anfachung der Konvektion parallel zur Oberfläche. Trotz erniedrigter maximaler Produktionsraten steigt der Maximalwert der rms-Temperaturfluktuationen aufgrund des Anstiegs der Konvektionsraten. Die Position von T_rms,max wird dadurch in Richtung Tiegelboden verschoben. Die zusätzliche Berücksichtigung von Wärmestrahlung an der freien Oberfläche dämpft die Marangoni-Konvektion nahe des Kristallrandes. Aufgrund des Einflusses der Wärmestrahlung auf den horizontalen Temperaturgradienten erhöhen sich Oberflächenspannungen am Meniskus, die wiederum die Schmelze nahe der Tiegelwand an die Oberfläche ziehen. Hieraus resultiert eine Verstärkung der Aufwärtsbewegung an der Tiegelseitenwand. Die durch einen gestiegenen Maximalwert der rms-Temperaturfluktuationen angezeigte Destabilisierung des Temperaturfeldes geht in diesem Fall auf erhöhte Produktionsraten zurück. Die Modellierung einer mit dem Radius quadratisch variierenden Tiegelbodentemperatur, führt zu keinen neuen Erkenntnissen. Hinsichtlich einer möglichst einfachen Modellbildung der Temperaturrandbedingung wurde in den Simulationen bei rotierendem Kristall und Tiegel daher der Tiegelboden als adiabate Wand angenommen. Insgesamt 7 DNS dienten der Untersuchung der Strömung bei rotierendem Tiegel und Kristall. Mit vier Simulationen wurde hierbei in guter Näherung Gitterunabhängigkeit der Lösung für eine Grashof-Zahl von 10^8, Marangoni-Zahl von 3.6 10^4, Reynolds-Zahl von Re = 1184.0, für ein Rotationsverhältnis von Omega_c/Omega_s = -0.7 und Höhen-Seitenverhältnis von H/R_c = 1.0 erzielt. Der Einfluss der Schmelzenhöhe wurde durch eine Simulation mit verringertem Höhen-Seitenverhältnis von H/R_c = 0.5 untersucht. Schließlich hatten zwei DNS das Ziel, den Einfluss einer vergleichsweise langsamen Kristallrotation (Re = 12.2 und Omega_c/Omega_s = -43.0) bzw. schnellen Kristallrotation bei einer Reynolds-Zahl von Re = 5263.0 und einem Rotationsverhältnis von Omega_c/Omega_s = -0.1 herauszustellen. F\"{u}r ein Rotationsverhältnis zwischen Tiegel und Kristall im Bereich Omega_c/Omega_s < -0.7 dominiert, unabhängig von der Schmelzenhöhe, die durch die Tiegelrotation aufgeprägte Strömung in Umfangsrichtung das Geschehen in der Schmelze. Sie führt zu drei große Rezirkulationsbewegungen, eine unterhalb des freien Oberfläche, eine unterhalb des Kristalls und eine dritte entlang der freien Oberfläche. Infolge dieser komplexen dreidimensionalen Strömung bewegt sich die vom Kristall abgekühlte Schmelze auf spiralförmigen Bahnen. Unterhalb des Kristalls entsteht daraus ein scharf abgegrenzter Bereich mit vergleichsweise 'kalter' Schmelze, dessen Berandung durch hohe Wärmeströme in axialer und radialer Richtung gekennzeichnet ist. Dies gilt insbesondere unterhalb des Kristallrandes, wo die hohen radialen Wärmeflüsse erhöhte Produktion von Temperaturfluktuationen und damit auch maximale Werte der rms-Temperaturfluktuationen hervorrufen. Die Entstehung dieser Temperaturfluktuationen ist auch ein Resultat des Nichtgleichgewichts nahe des Kristallrandes zwischen Zentrifugalkräften einerseits und den entgegengesetzt wirkenden Auftriebs- und Oberflächenkräften andererseits. Dabei schießt 'kaltes' Fluid entweder in die vergleichsweise 'warme' Strömung unterhalb des freien Oberfläche oder umgekehrt 'warme' Schmelze in die unterhalb des Kristalls vorliegende kühlere Schmelze. Modifikationen des Rotationsverhältnisses bzw. der Schmelzenhöhe führen lediglich zu quantitativen Änderungen. So verkleinert sich die Rezirkulation entlang der freien Oberfläche bei vergleichsweise langsamer Kristallrotation durch den bei niedrigeren Zentrifugalkräften gedämpften horizontalen Transport. Bei einem ebenfalls gedämpften vertikalen Transport auf der Achse werden die Rezirkulationszellen in Richtung Tiegelwand verschoben. Geringere Scherraten unterhalb des Kristalls führen ferner zu gedämpften Geschwindigkeits- und Temperaturfluktuationen. Allerdings erhöhen sich die Amplituden der starken Temperaturschwankungen innerhalb der Kristallisationszone abhängig von der radialen Position sehr unterschiedlich. Da gerade die starken Temperaturfluktuationen maßgeblich an der Entstehung der Defekte im Kristallgitter beteiligt sind, ergeben sich hieraus sehr ungünstige Kristallzüchtungsbedingungen. Ähnliche, aber quantitativ schwächere Tendenzen werden auch für niedrigere Schmelzenhöhen beobachtet. Jedoch führt in diesem Fall ein angefachter vertikaler Transport im Bereich der Tiegelachse zur Vergrößerung des Einflussbereichs der abgekühlten Schmelze, wodurch die Unterkühlung der Schmelze wahrscheinlicher wird. Im Gegensatz hierzu ändert die schnelle Kristallrotation die Struktur der Strömung erheblich. Unterhalb des Kristalls entsteht ein Bereich, indem sich die Schmelze mit der Kristallrotation, also entgegen der Tiegelumdrehung, bewegt. Dem überlagert existiert in (z,r)-Ebenen eine großräumige Rezirkulationsbewegung, die mit einem angefachten vertikalen Transport im Bereich der Achse einhergeht. Getrieben durch starke Zentrifugalkräfte unterhalb des Kristalls bildet sich eine schmale, aber sehr intensive, Rezirkulationsbewegung aus, die zum einen das Temperaturfeld homogenisiert und zum anderen für eine Durchmischung innerhalb der Kristallisationszone sorgt. Sehr starke Scherraten der Geschwindigkeitskomponenten und hohe, insbesondere radiale Wärmeströme üben auf die Fluktuationen des Geschwindigkeits- und Temperaturfeldes eine anfachende Wirkung aus. Aufgrund der intensivierten Konvektionsvorgänge werden die Temperaturfluktuationen jedoch aus der Kristallisationszone heraustransportiert. Dies und eine homogene Verteilung der vergleichsweise gedämpften Temperaturfluktuationen unterhalb des Kristalls lassen eine Beeinträchtigung des Kristallisationsvorganges durch starke Temperaturfluktuationen eher unwahrscheinlich erscheinen.