Modellierung der Schallausbreitung in Kanälen mit ungleichmäßiger Strömung mittels der regulären Störungsrechnung

Kurzfassung

In dieser Arbeit wird ein analytisches Näherungsverfahren entwickelt, um die Schallausbreitung in zylindrischen Kanälen mit ungleichmäßiger Hintergrundströmung zu modellieren. Ausgehend von den Euler- und Kontinuitätsgleichungen wird eine inhomogene Helmholtz-Gleichung bestimmt, die mit der regulären Störungsrechnung analytisch gelöst wird. Ausgehend von der Lösung in einer Kolbenströmung (Plug-Flow) bewirken die Gradienten der Strömungsgeschwindigkeit eine Brechung der Schallwellen und eine Verschiebung der axialen Wellenzahlen. Die analytische Formulierung ermöglicht eine schnelle Berechnung der Modenformen und Wellenzahlen. Im Gegensatz zu einigen numerischen Verfahren sind die Wellenzahlen eindeutig einer Modenordnung zugeordnet, daher sind keine aufwendigen Sortieralgorithmen notwendig. Die analytische Form ermöglicht zudem eine theoretische physikalische Interpretation der Kopplungsterme die aufgrund der ungleichmäßigen Strömung in der inhomogenen Helmholtz-Gleichung auftreten. Bei kleinen Störungen der Kolbenströmung konvergiert die Näherungslösung der Störungsrechnung gleichmäßig gegen die Plug-Flow Lösung. Die Näherungslösung wird für eine radiale Grenzschicht berechnet und mit numerischen Ergebnissen validiert. Die Ergebnisse für azimutal ungleichmäßige Strömungen werden anhand von Ergebnissen aus der Literatur und einem zweidimensionalen Modell plausibilisiert. Die Qualität der Näherung ist nicht nur von den Gradienten der Strömungsgeschwindigkeit abhängig, sondern auch von der mittleren Machzahl und der Helmholtz-Zahl. Bei großen Machzahlen und Helmholtz-Zahlen ist auch der erwartbare Fehler größer. Die Störungsrechnung wird für die Modellierung der Schallausbreitung in einer Strömung mit synthetisierter Grenzschichteinsaugung (Boundary Layer Ingestion, BLI) angewandt. Die mittlere Machzahl und die Störung der Strömung sind klein, somit kann ein großer Frequenzbereich betrachtet werden. Das Schallfeld kann als Summe der Plug-Flow Moden oder als Summe der mit der Störungsrechnung bestimmten BLI-Moden dargestellt werden. Mit einem äquidistanten Ringarray wird die Anwendbarkeit der Azimutalmodenanalyse mit beiden Modenmodellen untersucht. Bei den BLI-Moden ist die Array-Kohärenz bereits unterhalb der Aliasingfrequenz größer als der optimale Wert 0. Dies führt zu höheren Nebenkeulen und dazu, dass weniger dominante Modenordnungen detektiert werden können. Die Array-Kohärenz wird mit einem optimierten Array verbessert. Mit einer Näherungslösung der Greenschen Funktion wird das durch einen Monopol angeregte Modenspektrum berechnet. Die Modenspektren sind in einer Strömung mit BLI von der radialen und azimutalen Position der Monopolquelle abhängig. In einer Kolbenströmung sind die Modenspektren hingegen nur von der radialen Position der Monopolquelle abhängig. Die Ergebnisse implizieren, dass bei der numerischen und experimentellen Betrachtung von Schallquellen in Strömungen mit BLI die azimutale Abhängigkeit der Quellimpedanzen berücksichtigt werden muss. Mit den berechneten BLI-Moden kann die Schallausbreitung in einem Kanal modelliert werden, und anschließend auf die Plug-Flow Moden abgebildet werden. Wenn als Randbedingung eine stromauf laufende ebene Welle, die aus einer Summe von BLI-Moden besteht, gewählt wird, dann scheint die Abbildung auf die Plug-Flow Moden eine Streuung in benachbarte Modenordnungen zu zeigen. Die Amplituden der BLI Moden bleiben hingegen konstant und es tritt keine Streuung auf. Es handelt sich um nicht orthogonale Eigenmoden die sich überlagern. Dies erscheint im Plug-Flow Modenspektrum als Amplitudenmodulation. Weitere experimentelle, analytische und numerische Studien werden empfohlen um die Ergebnisse dieser Arbeit zu validieren und um zuverlässige Prognosen über die Schallausbreitung bei größeren Machzahlen treffen zu können.